Uprostřed slibné kariéry ho zbrzdila vada zraku, přesto na sport nezanevřel a začal se věnovat veslování. I v něm se mu podařilo dosáhnout výrazných úspěchů. V roce 1958 získal stříbrnou a bronzovou medaili na přeborech Československé republiky, a to v kategorii čtyřveslic i osmiveslic.

V Hodoníně strávil Josef Kuja celé své mládí, navštěvoval zde základní školu i tříleté gymnázium. Po jeho absolvování v 17 letech se rozhodl pro kariéru důstojníka pro tělovýchovu u armády a nastoupil do důstojnické školy ve Stříbře.

V roce 1962 začal studovat na přírodovědecké fakultě v Olomouci obor učitelství tělesné výchovy a matematiky, kterou ukončil v roce 1967. Ještě téhož roku nastoupil jako učitel na Střední průmyslovou školu stavebních hmot v Hodoníně.

Od sedmdesátých let se Josef Kuja věnoval kariéře hokejového trenéra mládeže. Nejlepší z jeho odchovanců hráli za tělovýchovné středisko ledního hokeje ve Zlíně a ve Skalici a později při své základní vojenské službě za Duklu Michalovce a Duklu Topolčany.

V té době však byl už Josef Kuja zpět v Hodoníně a se svým kolegou, učitelem tělesné výchovy Zdeňkem Ševelou, začali trénovat společně. Tato spolupráce jim vydržela až do roku 2005, kdy Josef Kuja odešel na zasloužený odpočinek.

V letech 1994 – 1995, kdy byl zimní stadion v Hodoníně uzavřen a následně přebudován na tržnici, nezbývalo, než přestěhovat mužstvo do Břeclavi a hrát pod hlavičkou HC Břeclav.

Ale i tam hráči pod vedením Josefa Kuji dosahovali výborných výsledků a v roce 1997 měli hrát o titul přeborníka České republiky. Naskytla se však zcela jiná příležitost – zahrát si v USA.

Rozhodování nebylo jednoduché, nakonec zvítězila touha navštívit Pittsburgh, kde v té době hráli Jaromír Jágr a Petr Nedvěd. Chlapci tehdy hráli šest utkání a všechna vyhráli, a to i přes fakt, že v posledním zápase hráli se staršími protivníky. Výhra 8:4 potěšila nejen hráče, ale i slavné hokejové rodáky.

A to nebyl jediný trenérský úspěch Josefa Kuji. Jeho nejúspěšnější odchovanec (a zároveň absolvent SPŠ stavební v Hodoníně) Michal Kempný hrál KHL za Omsk, kde byl vyhodnocen jako nejlepší obránce, poté byl draftován zámořským týmem Chicago a v současné době hraje NHL za Washington Capitals, se kterým v roce 2018 získal Stanley Cup. Slavnou trofej přivezl ukázat i do Hodonína.

Josef Kuja žil hodonínským hokejem do poslední chvíle. I jeho jedno velké přání směřovalo právě k tamnímu oddílu. „Chtěl bych popřát oddílu ledního hokeje, aby se jim podařil postup prvního mužstva do I. ligy a aby se jim dařila práce s mládeží.“

Všichni věří, že se nejen jeho přání jednou vyplní. Čest jeho památce.